log |f| oberhalbstetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:02 Di 02.12.2014 | | Autor: | Fenistil |
| Aufgabe | | u:=log|f| ist oberhalbstetig für holomorphe f. |
Ich habe folgende Definition:
Sei u eine Funktion auf einem topologischen Raum X. Dann ist u genau dann oberhalbstetig, wenn für alle [mm]z\in X[/mm] gilt: [mm]\limsup\limits_{\zeta\rightarrow z}{u(\zeta)}\leq u(z)[/mm].
Meine Ideen:
Ich würde mit einer Fallunterscheidung beginnen: Für f ohne Nullstellen ist u stetig, also oberhalbstetig.
Für f mit Nullstellen, ist ja u an diesen Punkten im minus Unendlichen. Also steht rechts in der Ungleichung [mm]-\infty[/mm]. Ist die Ungleichung dann trotzdem noch erfüllt? Ich komme mit dem limsup nicht so ganz klar.. Der müsste ja dann auch überall [mm]-\infty[/mm] sein. Ist das so?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=549553
http://www.matheplanet.com/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei $f:D [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph, $D$ eine offene Teilmenge von [mm] \IC.
[/mm]
Folgendes ist üblich: ist [mm] $z_0 \in [/mm] D$ eine Nullstelle von f, so setze [mm] $u(z_0):= [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
Damit ist u eine Abbildung
$u:D [mm] \to \IR \cup \{- \infty\}$
[/mm]
Sei [mm] z_0 \in [/mm] D.
Fall 1: [mm] z_0 [/mm] ist keine Nullstelle von f. Dann ist u in [mm] z_0 [/mm] stetig, also
$ [mm] \limsup\limits_{\zeta\rightarrow z_0}{u(\zeta)}= \limes_{\zeta \rightarrow z_0}u(\zeta)= u(z_0) [/mm] $
Fertig.
Fall 2: [mm] f(z_0)=0.
[/mm]
Zeige nun: [mm] $\limsup\limits_{\zeta\rightarrow z_0}{u(\zeta)}= [/mm] - [mm] \infty$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 02.12.2014 | | Autor: | Fenistil |
Danke für deine Antwort!
Ok, so weit war ich auch schon 
Also, der lim sup ist hier definiert als [mm] \inf_{a>0}\sup\log|f(z_0-a,z_0+a)\backslash \{z_0\}|.
[/mm]
Jetzt hänge ich ein bisschen. Wie kann ich begründen, dass dies gleich [mm] -\infty [/mm] ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Di 02.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort!
> Ok, so weit war ich auch schon
> Also, der lim sup ist hier definiert als
> [mm]\inf_{a>0}\sup\log|f(z_0-a,z_0+a)\backslash \{z_0\}|.[/mm]
>
> Jetzt hänge ich ein bisschen. Wie kann ich begründen,
> dass dies gleich [mm]-\infty[/mm] ist?
Was soll denn [mm] \log|f(z_0-a,z_0+a)\backslash \{z_0\}| [/mm] bedeuten ????
FRED
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Mh, vielleicht ist das nicht gut aufgeschrieben. Es soll heißen, dass man sich das Bild eines kleinen nach links und rechts von [mm] z_0 [/mm] weitergehenden Intervalls anguckt.
Welche Definition von lim sup würdest du denn verwenden?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:36 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Fenistil |
Muss man hier die Holomorphie von f irgendwie benutzen?
Oder für lim sup lieber über Folgen gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Muss man hier die Holomorphie von f irgendwie benutzen?
Ja, u ist subharmonisch.
FRED
> Oder für lim sup lieber über Folgen gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Sa 06.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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